Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正力形，∠PAD=90⁰，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。

（1）求证：PB∥平面EFG；
（2）求异面直线EG与BD所成的角；

Answer 1

见解析

解法一：（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，
∴GH//AD//EF，
∴E，F，G，H四点共面。又H为AB中点，
∴EH//PB。又面EFG，平面EFG，
∴PB//面EFG。                                                 
 6分
（2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角。在Rt△MAE中，，
同理，又，
∴在△MGE中，
故异面直线EG与BD所成的角为。           12分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则，，，，，，，。（1）证明：∵，，，设，即
解得。∴，又∵与不共线，∴、与共面。∵平面EFG，∴PB//平面EFG。 6分
（2）解：∵，，∴。
故异面直线EG与BD所成的角为。                 12分