Question

已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosA=

1

3

（1）求sin(2A+

π

6

)；
（2）若a=4，

sinB

sinC

=

1

3

，求b，c及△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求得 sinA 的值，利用二倍角公式求得sin2A，再利用两角和差的正弦公式求得sin(2A+

π

6

)的值．
（2）由条件里哦也难怪正弦定理可得 c=3b，再由余弦定理求得b、c的值，从而求得△ABC的面积S=

1

2

•bc•sinA 的值．

解答：解：（1）△ABC中，∵cosA=

1

3

，∴sinA=

2 2

3

，∴sin2A=2sinAcosA=

4 2

9

，cos2A=2cos²A-1=-

7

9

．
∴sin(2A+

π

6

)=sin2Acos

π

6

+cos2Asin

π

6

=

4 6 -7

9

．
（2）若a=4，

sinB

sinC

=

1

3

，则由正弦定理可得

b

c

=

1

3

，∴c=3b．
再由余弦定理可得 a²=16=b²+c²-2bc•cosA=b²+9b²-2b²=8b²，解得b=

2

，∴c=3

2

，
故△ABC的面积S=

1

2

•bc•sinA=2

2

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，属于中档题．