【题目】若数列与函数满足:①的任意两项均不相等,且的定义域为;②数列的前的项的和对任意的都成立,则称与具有“共生关系”.
(1)若,试写出一个与数列具有“共生关系”的函数的解析式;
(2)若与数列具有“共生关系”,求实数对所构成的集合,并写出关于,,的表达式;
(3)若,求证:“存在每项都是正数的无穷等差数列,使得与具有‘共生关系’”的充要条件是“点在射线上”.
【答案】(1) (2)实数对所构成的集合为,且,其中,. (3)证明见解析.
【解析】
(1) 由,可知,从而可得.
(2) 由题意得,当,可得,当时,与的任意两项均不相等相矛盾,故此时不合题意;当,,不合题意,当,也不合题意. 若,则,由,,可得,的任意两项均不相等,故,可知,得出答案.
(3)先证必要性,若是公差的等差数列,,可得,故解得,再证充分性,若点在射线上,
即,可得,从而得证.
(1)由,可知
所以与数列具有“共生关系”的函数的解析式可以为:.
(2)由题意得,令,可得,即.
①若,此时不成立,不合题意,
若,由,可得,又,可得,与的任意两项均不相等相矛盾,故此时不合题意.
②若,可得
若,则由与,可得,不合题意.
若,则,当时,,不合题意.
若,则,由,
可得,即
此时数列是首项为,公比为的等比数列,又的任意两项均不相等,
故,可知
所以实数对所构成的集合为,且,其中
(3)(必要性)若是公差的等差数列,且与具有“共生关系”.
则由,
可得:
故,即恒成立.
故解得
又由,可得,
由,可知
所以点在射线上.
(充分性)若点在射线上,则
又方程等价于,
且,取,它显然是正数且满足
令,则
,
故当时,
这里无穷数列是首项为,公差为的无穷等差数列.
其中每一项都是正数,所以存在每一项都是正数的无穷等差数列,使得与具有“共生关系”.
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【题目】已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.
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【题目】埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部形为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为( )
A.128.5米B.132.5米C.136.5米D.110.5米
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为 (为参数,),以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)求已知曲线和曲线交于,两点,且,求实数的值.
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【题目】已知抛物线的顶点是椭圆的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知动直线过点,交抛物线于,两点,坐标原点为的中点,求证;
(3)在(2)的条件下,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆过点,且它的一个焦点与抛物线的焦点相同.直线过点,且与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线的一个方向向量为,求的面积(其中为坐标原点);
(3)试问:在轴上是否存在点,使得为定值?若存在,求出点的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆C:的短轴长为2,离心率为,左顶点为A,过点A的直线l与C交于另一个点M,且与直线x=t交于点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在实数t,使得为定值?若存在,求实数t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足4Sn=an2+2an,n∈N*.设bn=(﹣1)nanan+1,Tn为数列{bn}的前n项和,则T2n=_____.
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