Question

17．已知抛物线y=x²-7上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（　　）

• A． 5
• B． $5\sqrt{2}$
• C． 6
• D． $6\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先设出直线AB的方程，代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂的值，由中点坐标公式求得AB中点M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|．

解答 解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，
代入抛物线y=x²-7化简可得 x² -x-b-7=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-b-7，
y₁+y₂=x₁²-7+x₂²-7=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂-14=1+2b+14-14=1+2b，
故AB 的中点为M（$\frac{1}{2}$，b+$\frac{1}{2}$），
由点M在x+y=0上，即$\frac{1}{2}$+b+$\frac{1}{2}$=0，解得：b=-1，
∴x₁•x₂=-6，
∴由弦长公式可求出丨AB丨=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1-4×（-6）}$=5$\sqrt{2}$，
故答案选：B．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．