【题目】已知函数.
(1)①若直线与的图象相切, 求实数的值;
②令函数,求函数在区间上的最大值.
(2)已知不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)①;②当时,;当时,;(2).
【解析】
(1)①设出切点(x0,y0),结合导数的几何意义,根据切点在切线上,列出方程组求解即可;
②首先去掉绝对值符号,将函数化成分段函数的形式,利用导数研究即可得结果;
(2)分情况讨论,将恒成立问题转化为最值来处理,利用导数研究其最值,最后求得结果.
(1)①设切点(x0,y0),,
所以,所以,
②因为在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0.
所以h(x)=f(x)-|g(x)|==
当0<x<1时,,,
当x≥1时,,,
所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且h(x)max=h(1)=0.
当0<a<1时,h(x)max=h(1)=0;
当a≥1时,h(x)max=h(a)=lna-a+.
(2)令F(x)=2lnx-k(x-),x∈(1,+∞).
所以.设φ(x)=-kx2+2x-k,
①当k≤0时,F'(x)>0,所以F(x)在(1,+∞)上单调递增,又F(1)=0,
所以不成立;
②当k>0时,对称轴,
当时,即k≥1,φ(1)=2-2k≤0,所以在(1,+∞)上,φ(x)<0,
所以F'(x)<0,
又F(1)=0,所以F(x)<0恒成立;
当时,即0<k<1,φ(1)=2-2k>0,所以在(1,+∞)上,由φ(x)=0,x=x0,
所以x∈(1,x0),φ(x)>0,即F'(x)>0;x∈(x0,+∞),φ(x)<0,即F'(x)<0,
所以F(x)max=F(x0)>F(1)=0,所以不满足F(x)<0恒成立.
综上可知:k≥1.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知、,、分别为的外心,重心,.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)是否存在过的直线交曲线于,两点且满足,若存在求出的方程,若不存在请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比),根据该折线图,下列结论错误的是
A. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨
B. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌
C. 2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大
D. 2019年3月全国居民消费价格环比变化最快
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4—4:坐标系与参数方程]:在直角坐标系中,直线的参数方程为(t为参数,),以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,已知直线与曲线C交于不同的两点A,B.
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设P(1,2),求的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元;方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数)曲线的普通方程为,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线和曲线的极坐标方程;
(2)射线:依次与曲线和曲线交于、两点,射线:依次与曲线和曲线交于、两点,求的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(,其中e为自然对数的底数).
(Ⅰ)若,求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若函数有两个不同的零点.
(ⅰ)当时,求实数的取值范围;
(ⅱ)设的导函数为,求证:.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com