Question

6．己知f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（1）若f（x）=$\frac{3}{2}$，求cos（$\frac{2π}{3}$-x）的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）-k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先化简求得f（x）的解析式，由已知可求得a的值，从而可求cos（$\frac{2π}{3}$-x）的值；
（2）先求得y=g（x）-k的解析式，从而可求g（x）的值域，由函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有交点，可得实数k的取值范围．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得：sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=1，
∴可得：$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴cos（$\frac{2π}{3}$-x）=cos（$\frac{2π}{3}$-4kπ-$\frac{2π}{3}$）=cos（4kπ）=1．…（5分）
（2）∵将函数y=f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位得到函数解析式为：y=g（x）=sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）]+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴则y=g（x）-k=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$-k，
∵x∈[0，$\frac{7π}{3}$]，可得：-$\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$≤π，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴0≤sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，…（8分）
∴若函数y=g（x）-k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有交点，
∴实数k的取值范围是[0，$\frac{3}{2}$]…（10分）

点评 本题主要考察了三角函数的图象与性质，三角函数中的恒等变换应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．