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(本小题满分14分)
若函数 (a,b∈R),且其导函数f′ (x)的图象过原点.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;
(Ⅱ)若存在x<0使得f′ (x)=-9,求实数a的最大值.
(Ⅰ) 3x-y-8="0." (Ⅱ) a的最大值为
第一问,根据导函数图象过原点得b=0,然后就可以求出切线方程;第二问分离出参数a利用基本不等式可以得到a的最大值或者根据一元二次方程根的分布求出a的最大值。
解:,f′ (x)=x2-(a+1)x+b,         ……1分
由f′ (0)=0得 b=0,f′ (x)=x(x-a-1).                                ……3分
(Ⅰ)当a=1时, ,f′ (x)=x(x-2),f(3)=1,f′ (3)=3.    ……5分
所以函数f(x)的图像在x=3处的切线方程为y-1=3(x-3),             ……6分
即3x-y-8=0.                                                   ……7分
(Ⅱ)存在,使x<0得f′ (x)=x(x-a-1)=-9,
,a≤-7,       ……10分
当且仅当x=-3时,a=-7.                                       ……12分
所以a的最大值为-7.                                           ……14分
(Ⅱ)另解:由题意“存在x<0,使得f′ (x)=x(x-a-1)=-9”有
方程x2-(a+1)x+9=0有负数根.                                  ……8分
又因为两根之积等于9>0,所以两根均为负数.                     ……10分
                                   ……12分
解得a≤-7,                                                  ……13分
所以a的最大值为.                                         ……14分
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