第一问,根据导函数图象过原点得b=0,然后就可以求出切线方程;第二问分离出参数a利用基本不等式可以得到a的最大值或者根据一元二次方程根的分布求出a的最大值。
解:
,f′ (x)=x
2-(a+1)x+b, ……1分
由f′ (0)=0得 b=0,f′ (x)=x(x-a-1). ……3分
(Ⅰ)当a=1时,
,f′ (x)=x(x-2),f(3)=1,f′ (3)=3. ……5分
所以函数f(x)的图像在x=3处的切线方程为y-1=3(x-3), ……6分
即3x-y-8=0. ……7分
(Ⅱ)存在,使x<0得f′ (x)=x(x-a-1)=-9,
,a≤-7, ……10分
当且仅当x=-3时,a=-7. ……12分
所以a的最大值为-7. ……14分
(Ⅱ)另解:由题意“存在x<0,使得f′ (x)=x(x-a-1)=-9”有
方程x
2-(a+1)x+9=0有负数根. ……8分
又因为两根之积等于9>0,所以两根均为负数. ……10分
则
……12分
解得a≤-7, ……13分
所以a的最大值为
. ……14分