Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）从椭圆C上一点M向圆x2+y2=1上引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与x轴、y轴交于P、Q两点时，求|PQ|的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为 ， ∴ ，解得a=6，b=2，
∴椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）设切点为（x0 ， y0），
当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），
∵k=﹣ ，∴切线方程为y﹣y0=﹣ （x﹣x0），∴ ，
当k不存在时，切点坐标为（±r，0），对应切线方程为x=±r，
符合 ，
综上知切线方程为 ，
设点M（xM ， yM），MA，MB是圆x2+y2=1的切线，切点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，
过点B的圆的切线为x2x+y2y=1，
∵两切线都过M点，∴x1xM+y1yM=1，x2xM+y2yM=1，
∴切点弦AB的方程为xMx+yMy=1，
由题意知xMyM≠0，
∴P（ ，0），Q（0， ），
∴|PQ|2= =（ ）（ + ）
=
≥ = ，
当且仅当 时，取等号，
∴|PQ|≥ ，∴|PQ|的最小值为
【解析】（Ⅰ）由椭圆上顶点为（0，2），且离心率为 ，列出方程组，求出a=6，b=3，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设切点为（x0 ， y0），求出切线方程为 ，设点M（xM ， yM），MA，MB是圆x2+y2=1的切线，求出切点弦AB的方程为xMx+yMy=1，由此能求出|PQ|的最小值．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．