Question

2．偶函数f（x）满足f（x）=f（2-x），且当x∈[-1，0]时，f（x）=cos$\frac{πx}{2}$-1，若函数g（x）=f（x）-log_ax有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 由题意可得，函数f（x）的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，函数f（x）是周期为2，函数y=f（x）的图象和函数y=log_ax有的图象有且仅有3个交点，数形结合可得$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{{g}_{a}}^{3}＞-1}\\{lo{{g}_{a}}^{5}＜-1}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．

解答 解：∵偶函数f（x）满足f（x）=f（2-x），
∴函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，
∴函数f（x）是周期为2．
由当x∈[-1，0]时，f（x）=cos$\frac{πx}{2}$-1，
可得函数f（x）的图象，如图所示：
由题意可得，函数y=f（x）的图象和函数y=log_ax有的图象有且仅有3个交点，
故有$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{{g}_{a}}^{3}＞-1}\\{lo{{g}_{a}}^{5}＜-1}\end{array}\right.$，
求得$\frac{1}{5}$＜a＜$\frac{1}{3}$，
即a的取值范围为（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）．
故答案是：（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．