Question

【题目】已知函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) .

【解析】

（1）先利用导数研究时单调区间，再根据函数奇偶性确定时单调区间，（2）先分离变量，转化研究对应函数值域，再利用导数研究时单调区间，根据函数奇偶性确定时单调区间，最后根据单调性确定函数值域，即得结果.

（1）函数的定义域为且关于坐标原点对称，

，∴为偶函数，

当时，，

令 ，

令

.

所以可知：当时，单调递减，

当时，单调递增，

又因为是偶函数，所以在对称区间上单调性相反，所以可得：

当时，单调递增，

当时，单调递减，

综上可得：的递增区间是：，；

的递减区间是：，.

（2）由，即，显然，，

可得：，令，

当时，，

.

显然，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴时，.

又，所以可得为奇函数，所以图像关于坐标原点对称，

所以可得：当时，，

∴的值域为，∴的取值范围是.