Question

已知曲线C：x²+y²+2kx+（4k+10）y+10k+20=0，其中常数k≠-1；
（1）求证：对任意的k，曲线C是圆，并且圆心在同一条直线上；
（2）证明：曲线C过定点；
（3）若曲线C与x轴相切，求k的值．

Answer 1

分析：（1）把曲线方程配方后，根据常数k≠-1，得到二元一次方程表示曲线是圆，找出圆心坐标，根据圆心坐标的特点确定出圆心所在直线的方程；
（2）把曲线方程整理为k（2x+4y+10）+（x²+y²+10y+20）=0，把k看作未知数，x与y看作常数，根据多项式的值为0，各项的系数都为0列出关于x与y的方程组，求出方程组的解集得到x与y的值，进而确定出曲线方程恒过的定点坐标，得证；
（3）由圆与x轴相切，得到圆心到x轴的距离等于圆的半径，即圆心的纵坐标的绝对值等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解，即可得到满足题意k的值．

解答：解：（1）曲线分成化简得：（x+k）²+（y+2k+5）²=5（k+1）²，
∵k≠-1，∴r²=5（k+1）²＞0，故曲线C都是圆，
∴圆心（-k，-2k-5），设x=-k，y=-2k-5，
∴y=2x-5，
则圆心在同一直线y=2x-5上；
（2）将x²+y²+2kx+（4k+10）y+10k+20=0整理为：
k（2x+4y+10）+（x²+y²+10y+20）=0，
∴

2x+4y+10=0 x2+y2+10y+20=0

，
解得：

x=1 y=-3

，
曲线C过定点（1，-3）；
（3）∵曲线C与x轴相切，
∴|2k+5|=

5

|k+1|，
解得：k=5±3

5

，
则曲线C与x轴相切时k=5±3

5

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：恒过定点的曲线方程，二元二次方程表示圆的条件，圆的标准方程，以及直线与圆相切的性质，是一道综合性较强的题．