Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点M、N分别在线段AB₁、BC₁上，且AM=BN．以下结论：
①AA₁⊥MN；
②MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
③MN与A₁C₁异面；
④点B₁到面BDC₁的距离为；
⑤若点M、N分别为线段AB₁、BC₁的中点，则由线MN与AB₁确定的平面在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 上的截面为等边三角形．
其中有可能成立的结论为

1. A.
   5
2. B.
   4
3. C.
   3
4. D.
   2

Answer 1

B
分析：①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA₁⊥面AC，可得结论成立；
②由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A₁B₁C₁D₁，故MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
③MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A₁C₁异面，；
④根据V_B1-BDC1=V_D-BB1C1，可求点B₁到面BDC₁的距离；
⑤截面为△AB₁N，为等腰三角形，故⑤不正确．
解答：①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM=BN，∴NE=MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA₁⊥面AC，EF?面AC，∴AA₁⊥EF，∴AA₁⊥MN，故①正确；
②由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A₁B₁C₁D₁，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，故②正确；
③MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A₁C₁异面，FE与AC平行时，则平行，故③可能成立；
④设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为1，点B₁到面BDC₁的距离为h，根据V_B1-BDC1=V_D-BB1C1，可得=××1×1×1，∴h=，故④正确；
⑤点M、N分别为线段AB₁、BC₁的中点，则由线MN与AB₁确定的平面在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 上的截面为△AB₁N，为等腰三角形，故⑤不正确．
综上可知，①②③④
故选B．
点评：本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．