【题目】已如椭圆C:的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设动直线l交椭圆C于P,Q两点,直线OP,OQ的斜率分别为k,k'.若,求证△OPQ的面积为定值,并求此定值.
【答案】(1);(2)△OPQ的面积为定值,且此定值为,见解析
【解析】
(1)根据等腰直角三角形可知,,根据求解椭圆方程;(2)当与轴垂直时,设,代入和椭圆方程,得到面积,当与轴不垂直时,设直线l的方程为,联立方程,得到根与系数的关系,并表示面积,得到面积是定值.
(1)设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2.依题查,有得,则,
所以椭圆C的标准方程为.
(2)证明:①当直线1与x轴垂直时,设直线l的方程为,,.
由,且,解得,或,,所以.
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为,,.
联立直线l和椭圆C的方程,得整理得.
,,.
由,则,即,
所以,
即,整理得,则.
又,
点O到直线PQ的距离为,所以.
综上,△OPQ的面积为定值,且此定值为.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若直线与曲线交于、两点,设,求的值.
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【题目】如图,在直角梯形中,,,、分别是、的中点,将三角形沿折起,则下列说法正确的是______________.
(1)不论折至何位置(不在平面内),都有平面;
(2)不论折至何位置,都有;
(3)不论折至何位置(不在平面内),都有;
(4)在折起过程中,一定存在某个位置,使.
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【题目】在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”,曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国,正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念.某班假期分为四个社会实践活动小组,分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查.于开学进行交流报告会.四个小组随机排序,则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】定义:若数列满足,存在实数,对任意,都有,则称数列有上界,是数列的一个上界,已知定理:单调递增有上界的数列收敛(即极限存在).
(1)数列是否存在上界?若存在,试求其所有上界中的最小值;若不存在,请说明理由;
(2)若非负数列满足,(),求证:1是非负数列的一个上界,且数列的极限存在,并求其极限;
(3)若正项递增数列无上界,证明:存在,当时,恒有.
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【题目】我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入3×3的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的和都相等(如图所示),我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么不同的三阶幻方的个数是( )
4 | 9 | 2 |
3 | 5 | 7 |
8 | 1 | 6 |
A.9B.8C.6D.4
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