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【题目】已如椭圆C:的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设动直线l交椭圆CPQ两点,直线OPOQ的斜率分别为kk.,求证OPQ的面积为定值,并求此定值.

【答案】(1);(2)△OPQ的面积为定值,且此定值为,见解析

【解析】

1)根据等腰直角三角形可知,,根据求解椭圆方程;(2)当轴垂直时,设,代入和椭圆方程,得到面积,当轴不垂直时,设直线l的方程为,联立方程,得到根与系数的关系,并表示面积,得到面积是定值.

(1)设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2.依题查,有,则

所以椭圆C的标准方程为.

(2)证明:①当直线1与x轴垂直时,设直线l的方程为.

,且,解得,所以.

②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为.

联立直线l和椭圆C的方程,得整理得.

.

,则,即

所以

,整理得,则.

点O到直线PQ的距离为,所以.

综上,△OPQ的面积为定值,且此定值为.

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