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【题目】如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点By轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).

(1)证明动点D在定直线上;

(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.

【答案】(1)证明见解析.

(2)证明见解析;|MN2|2-|MN1|2为定值8.

【解析】分析:(1)设方程为,则为方程的解,从而,而,利用前者可以得到,从而在定直线上.

(2)设切线方程为,由直线和抛物线相切可以得到,从而得到的坐标,它们和有关,利用两点之间的距离公式可以得到.

详解:(1)证明:依题意可设方程为代入

.

则有

直线的方程为 的方程为.

解得交点的坐标注意到

则有.

因此点在定直线.

(2)解:依题设,切线的斜率存在且不等于,设切线的方程为

代入.

,化简整理得.

故切线的方程可写为.

分别令的坐标为

,即为定值.

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A.
B.
C.
D.

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A. B. C. D.

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