Question

17．已知函数y=e^|lnx|-|x-2|-ax有3个不同的零点（其中e为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1]
• D． （0，1）

Answer 1

分析 若函数y=e^|lnx|-|x-2|-ax有3个不同的零点，则函数y=e^|lnx|-|x-2|与y=ax的图象有3个交点，在同一坐标系中作出函数y=e^|lnx|-|x-2|与y=ax的图象，数形结合可得答案．

解答 解：由|lnx|=0得：x=1，由|x-2|=0得：x=2．
∴函数y=e^|lnx|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{lnx}-x+2=2，x≥2\\{e}^{lnx}+x-2=2x-2，1≤x＜2\\{e}^{-lnx}+x-2=\frac{1}{x}+x-2，x＜1\end{array}\right.$，
若函数y=e^|lnx|-|x-2|-ax有3个不同的零点，
则函数y=e^|lnx|-|x-2|与y=ax的图象有3个交点，
在同一坐标系中作出函数y=e^|lnx|-|x-2|与y=ax的图象如下图所示：

由图可得：实数a的取值范围是（0，1），
故选：D

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点与方程的根，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．