Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为2

3

，且过点M(-

13

4

，

3

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点N(

1

2

，1)的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）法一：利用椭圆的定义和参数a，b，c的关系即可得出；
法二：代入椭圆的标准方程，利用待定系数法即可得出；
（2）法一：利用“点差法”，直线与椭圆相切得到△=0即可得出；
法二：联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系即可得出．

解答：解：（1）法一：依题意，设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，则2c=2

3

，c=

3

，
∵椭圆两个焦点为F1(0，-

3

)，F2(0，

3

)，∴2a=|MF₁|+|MF₂|=

(- 13 4 )2+( 3 2 + 3 )2

+

(- 13 4 )2+( 3 2 - 3 )2

=4，∴a=2．
∴b²=a²-c²=1，∴椭圆C的方程为

y2

4

+x2=1．
法二：依题意，设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，则

2c=2 3 ( 3 2 )2 a2 + (- 13 4 )2 b2 =1

，即

a2-b2 = 3 3 4a2 + 13 16b2 =1

，解之得

a=2 b=1

，
∴椭圆C的方程为

y2

4

+x2=1．
（2）法一：设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则

x1+x2

2

=

1

2

，

y1+y2

2

=1，

y12

4

+x12=1…①

y22

4

+x22=1…②
①-②，得

y12-y22

4

+x12-x22=0，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

-(x1+x2)

y1+y2 4

=

-1

2 4

=-2，
设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为l'：2x+y+m=0，
联立方程组

y2 4 +x2=1 2x+y+m=0

，消去y整理得8x²+4mx+m²-4=0，
由判别式△=16m²-32（m²-4）=0得m=±2

2

，
由图知，当m=2

2

时，l'与椭圆的切点为D，此时△ABD的面积最大，
∵m=2

2

，∴x_D=-

m

4

=-

2

2

，yD=-

2

．
∴D点的坐标为(-

2

2

，-

2

)．
法二：设直线AB的方程为y-1=k(x-

1

2

)，联立方程组

y2 4 +x2=1 y-1=k(x- 1 2 )

，
消去y整理得(k2+4)x2-(k2-2k)x+

1

4

k2-k-3=0，
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x1+x2=

k2-2k

k2+4

=1，∴k=-2．
∴直线AB的方程为y-1=-2(x-

1

2

)，即2x+y-2=0．
（以下同法一）．

点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、参数a、b、c的关系、待定系数法、“点差法”、直线与椭圆相切得到△=0、直线与椭圆相交问题联立方程并利用根与系数的关系是解题的关键．