Question

当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：(1)由于自然繁殖，兔子数每年增长10％，狐狸数每年减少15％；(2)由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；(3)第n年时，兔子数量R_n用表示，狐狸数量用F_n表示；(4)初始时刻(即第0年)，兔子数量有R₀＝100只，狐狸数量有F₀＝30只．请用所学知识解决如下问题：

(1)列出兔子与狐狸的生态模型(R_n、F_n的关系式)；

(2)求出R_n、F_n关于n的关系式；

(3)讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)　2分 　　(2)设，　 　　∴＝……＝ 　　又矩阵M的特征多项式　＝ 　　令得：　4分 　　特征值对应的一个特征向量为 　　特征值对应的一个特征向量为　6分 　　且 　　∴＝ 　　∴　8分 　　(3)当n越来越大时，越来越接近于0，，分别趋向于常量210，140．即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．　10分