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当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍;(3)第n年时,兔子数量Rn用表示,狐狸数量用Fn表示;(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有R0=100只,狐狸数量有F0=30只.请用所学知识解决如下问题:

(1)列出兔子与狐狸的生态模型(Rn、Fn的关系式);

(2)求出Rn、Fn关于n的关系式;

(3)讨论当n越来越大时,兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态,说明你的理由.

答案:
解析:

  解:(1) 2分

  (2)设 

  ∴=……=

  又矩阵M的特征多项式 

  令得: 4分

  特征值对应的一个特征向量为

  特征值对应的一个特征向量为 6分

  且

  ∴

  ∴ 8分

  (3)当n越来越大时,越来越接近于0,分别趋向于常量210,140.即随着时间的增加,兔子与狐狸的数量逐渐增加,当时间充分长后,兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态. 10分


练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:
(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;
(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍;
(3)第n年时,兔子数量Rn用表示,狐狸数量用Fn表示;
(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有R0=100只,狐狸数量有F0=30只.
请用所学知识解决如下问题:
(1)列出兔子与狐狸的生态模型;
(2)求出Rn、Fn关于n的关系式;
(3)讨论当n越来越大时,兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态,说明你的理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:
(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;
(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍;
(3)第n年时,兔子数量Rn用表示,狐狸数量用Fn表示;
(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有R0=100只,狐狸数量有F0=30只.
请用所学知识解决如下问题:
(1)列出兔子与狐狸的生态模型;
(2)求出Rn、Fn关于n的关系式;
(3)讨论当n越来越大时,兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态,说明你的理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍;(3)第n年时,兔子数量用表示,狐狸数量用表示;(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有只,狐狸数量有只。请用所学知识解决如下问题:

(1)列出兔子与狐狸的生态模型(的关系式);

(2)求出关于n的关系式;

(3)讨论当n越来越大时,兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态,说明你的理由。

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科目:高中数学 来源:2006-2007学年江苏省无锡市高二(下)期末数学试卷(解析版) 题型:解答题

当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:
(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;
(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍;
(3)第n年时,兔子数量Rn用表示,狐狸数量用Fn表示;
(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有R=100只,狐狸数量有F=30只.
请用所学知识解决如下问题:
(1)列出兔子与狐狸的生态模型;
(2)求出Rn、Fn关于n的关系式;
(3)讨论当n越来越大时,兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态,说明你的理由.

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