分析 (I)取AP得中点F,利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理即可证明CE∥平面PAB;
(II)建立空间坐标系,求出平面的法向量,结合PB与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$,先求出高PA的值,利用向量法建立方程进行求解.
解答 (Ⅰ) 取AP得中点F,连接EF、BF,因为AB=BC=2,∠ABC=60°,
∴△ABC为正三角形,∴AC=2,
又 AD∥BC,∴∠DAC=60°,
又∵AC⊥CD,∴AD=$\frac{AC}{cos∠DAC}=4$,
又∵E、F分别为PD、PA的中点,
∴EF∥AD,EF=$\frac{1}{2}$AD,
又AD∥BC,BC=$\frac{1}{2}$AD,
∴四边形EFBC为平行四边形,
∴FB∥EC,
又FB?平面PAB,CE?平面PAB
∴CE∥平面PAB.
(Ⅱ)分取BC中点为S,由(1)可得,于是AS⊥AD,
则AS,AD,AP两两垂直,
如图,以AS为x轴,AD为y轴,AP为z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B($\sqrt{3}$,-1,0),C($\sqrt{3}$,1,0),D(0,0,4),
设P(0,0,h),
设直线PB与平面PAC所成的角为θ,
则 sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$,
∴sinθ=|cos<$\overrightarrow{PB},\overrightarrow{DC}$>|=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$,得h=2,
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}$,易得$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$,3,0),
同理可得平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$,易得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,1,2),
平面PAB与平面PCD所成的角为α,
则cosα=cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$.
点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解,建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决本题的关键.综合考查学生的运算和推理能力.
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A. | $\frac{8}{3}+2π$ | B. | $\frac{8}{3}+π$ | C. | 4+2π | D. | 4+π |
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