Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量=（cos ，cos（π-A）-1），=（2cos（-A），2sin ），且⊥
（1）求角A的大小．
（2）设f（x）=cos²x+2sinAsinxcosx，求f（x）的最小正周期，求当 x 时f（x）的值域．

Answer 1

解：∵⊥，
∴•=0，（1分）
∴cos•2cos（）+[cos（π-A）-1]•2sin=0，（2分）
2sinAcos-2cosAsin-1=0，（3分）
2sin（A-）=1，
∴sin（A-）=．（4分）
∵0＜A＜π，
∴-＜A-＜，（5分）
∴A-=
∴A=，（6分）
（2）f（x）=cos²x+2sinA•sinxcosx
=（7分）
=sin（2x+）+．（8分）
∴T=π，（10分）
∵x，
∴，
∴，
∴，
∴．（13分）
分析：由⊥，知=0，所以2sinAcos-2cosAsin-1=0，由和（差）角公式得到sin（A-）=，由此能求出角A的大小．
（2）先由二倍解公式把f（x）=cos²x+2sinAsinxcosx等价转化为f（x）=，再由和（差）角公式进一步转化为f（x）=sin（2x+）+，由此能求出f（x）的最小正周期和当 x 时f（x）的值域．
点评：本题考查平面向量的综合运用，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意二倍角公式、和（差）角公式和三角函数恒等变换的合理运用．