Question

如图所示，已知P（4，0）是圆x²+y²=36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：设M的坐标为（x，y），连结OM、OA、PA．由垂径定理和直角三角形中线的性质，化简得|AM|²=|PM|²=|OA|²-|OM|²，利用两点的距离公式代入数据，化简即得M的轨迹方程．

解答：解：设M的坐标为（x，y），连结OM、OA、PA，
∵在Rt△PAB中，M是斜边AB的中点，∴|PM|=|AM|，
∵由垂径定理，OM⊥AB，
∴|AM|²=|OA|²-|OM|²，可得|PM|²=|OA|²-|OM|²，
可得（x-4）²+y²=36-（x²+y²）．
化简得x²+y²-4x-10=0，即为所求AB的中点M的轨迹方程．

点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程．着重考查了圆的方程、两点间的距离公式、垂径定理和直角三角形的性质等知识，属于中档题．