Question

11．已知函数f（x）=|x²-a|+|x-a|（a≥1），
（1）当a=1时，试求函数f（x）单调区间，并求函数在[-2，2]上的最值；
（2）若f（x）=k有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≤-1}\\{-{x}^{2}-x+2，-1＜x＜1}\\{{x}^{2}+x-2，x≥1}\end{array}\right.$，从而写出函数的单调区间及在[-2，2]上的最值即可；
（2）化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≤-\sqrt{a}}\\{-{x}^{2}-x+2a，-\sqrt{a}＜x＜\sqrt{a}}\\{{x}^{2}-x，\sqrt{a}≤x≤a}\\{{x}^{2}+x-2a，x＞a}\end{array}\right.$，从而确定函数的单调区间，作函数简图，由数形结合求实数k的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，
f（x）=|x²-1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≤-1}\\{-{x}^{2}-x+2，-1＜x＜1}\\{{x}^{2}+x-2，x≥1}\end{array}\right.$，
由二次函数的性质可得，
f（x）的单调减区间为（-∞，-1]，（-$\frac{1}{2}$，1），
f（x）的单调增区间为（-1，-$\frac{1}{2}$]，[1，+∞）；
在区间[-2，2]上，f（-2）=6，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{4}$，f（2）=4，f（1）=0；
故函数在[-2，2]上的最大值为6，最小值为0；
（2）函数f（x）=|x²-a|+|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≤-\sqrt{a}}\\{-{x}^{2}-x+2a，-\sqrt{a}＜x＜\sqrt{a}}\\{{x}^{2}-x，\sqrt{a}≤x≤a}\\{{x}^{2}+x-2a，x＞a}\end{array}\right.$，
由二次函数的性质可得，
f（x）的单调减区间为（-∞，-$\sqrt{a}$]，（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{a}$），
f（x）的单调增区间为（-$\sqrt{a}$，-$\frac{1}{2}$]，[$\sqrt{a}$，+∞）；
作函数f（x）=|x²-a|+|x-a|的简图如右图，
f（-$\sqrt{a}$）=a+$\sqrt{a}$，f（-$\frac{1}{2}$）=2a+$\frac{1}{4}$，f（$\sqrt{a}$）=a-$\sqrt{a}$；
结合图象可得，
若f（x）=k有两个不相等的实数根，
则a-$\sqrt{a}$＜k＜a+$\sqrt{a}$或a+$\sqrt{a}$＜k＜2a+$\frac{1}{4}$．
故实数k的取值范围为（a-$\sqrt{a}$，a+$\sqrt{a}$）∪（a+$\sqrt{a}$，2a+$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了分段函数的应用及函数的性质的判断，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．