Question

3．设函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，若cos$\frac{π}{3}cosφ-sin\frac{2π}{3}$sinφ=0，且图象的两条对称轴间的最近距离是$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若A，B，C是△ABC的三个内角，且f（A）=-1，求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角差的余弦函数公式及余弦函数的图象和性质可求φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，
由题意可求周期为T=π，利用周期公式可求ω，从而可得函数解析式．
（2）由题意可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1，结合范围0＜A＜π，可解得A=$\frac{2π}{3}$，从而B+C=$\frac{π}{3}$，利用三角函数恒等变换的应用可将sinB+sinC化为sin（B+$\frac{π}{3}$），结合范围0＜B＜$\frac{π}{3}$，利用正弦函数的图象和性质即可求其取值范围．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵cos$\frac{π}{3}cosφ-sin\frac{2π}{3}$sinφ=cos（$\frac{π}{3}$+φ）=0，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，得φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴取k=0，得φ=$\frac{π}{6}$，
∵函数f（x）图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是$\frac{π}{4}$，
∴周期为T=π，得ω=$\frac{2π}{T}$=2，得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．…（6分）
（2）由f（A）=-1，得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1，
∵A是△ABC的内角，0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，
∴A=$\frac{2π}{3}$，从而B+C=$\frac{π}{3}$．
由sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB
∴sinB+sinC=sin（B+$\frac{π}{3}$），…（12分）
∵0＜B＜$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{3}$）≤1，即sinB+sinC∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
因此，sinB+sinC的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．…（14分）

点评 本题主要考查了两角差的余弦函数公式，正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．