Question

已知函数y=f（x）=4^x-a•2^x+1+1（a∈R），x∈[0，2]，求y=f（x）的最小值．（用a表示）

Answer 1

解：f（x）=4^x-a•2^x+1+1=（2^x）²-2a•2^x+1，
令t=2^x，因为x∈[0，2]，所以t∈[1，4]，
所以y=g（t）=t²-2at+1（1≤t≤4），
对称轴为t=a，
①当a＜1时，y=g（t）在[1，4]上单调递增，故y_min=g（1）=1-2a+1=2-2a；
②当1≤a≤4时，y=（t-a）²+1-a²，；
③当a＞4时，y=g（t）在[1，4]上单调递减，y_min=g（4）=16-8a+1=17-8a；
综上所述，．
分析：令t=2^x，则可转化为求函数y=g（t）=t²-2at+1（1≤t≤4），对a进行分类讨论即可解得．
点评：通过换元，对原函数进行变形，转化为二次函数的最值问题是解决本题的关键所在．