Question

设直线3x+y+m=0与圆x²+y²+x-2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值。

Answer 1

解：由3x+y+m=0得：y=-3x-m ，
代入圆方程得：，
设P、Q两点坐标为P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=，x₁x₂=，
∵OP⊥OQ，　　
∴，即x₁·x₂+y₁·y₂=0，
∴x₁·x₂+（-3x₁-m）（-3x₂-m）=0，
整理得：10x₁·x₂+3m（x₁+x₂）+m²=0，
∴，
解得：m=0或m=，
又△=（6m+7）²-40（m²+2m）=-4m²+4m+49，
当m=0时，△＞0；
当m=时，△＞0；
∴m=0或m=。