Question

11．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$，cos²$\frac{ωx}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cosφ，sinφ），函数f（x）=2A（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）-Asinφ+k（其中A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）；
（2）如何由函数y=-sinx的图象得到函数y=f（x）的图象．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，由最大值和最小值求得k和A的值，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，即可确定f（x）的解析式．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：（1）函数f（x）=2A（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）-Asinφ+k=2A•[sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$cosφ+cos²$\frac{ωx}{2}$sinφ]-Asinφ+k
=A•[sinωxcosφ+sinφ+sinφcosωx]-Asinφ+k=A[sin（ωx+φ）+sinφ]-Asinφ+k=Asin（ωx+φ）+k，
结合f（x）的图象可得k=$\frac{3-1}{2}$=1，故f（x）=Asin（ωx+φ）+1．
由$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{7π}{3}$-$\frac{π}{3}$=2π，求得ω=$\frac{1}{2}$；再根据五点法作图可得$\frac{1}{2}$•$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{3-（-1）}{2}$=2，
求得φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）+1．
（2）把函数y=-sinx=sin（x+π）的图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到y=sin（$\frac{1}{2}$x+π）的图象；
再把所得图象向右平移$\frac{4π}{3}$个单位，可得y=sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{4π}{3}$）+π]=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象的点的纵坐标变为原来的2倍，得到y=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象向上平移1个单位，可得f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）+1的图象．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．