Question

12．已知虚数z满足|2z+5|=|z+10|．
（1）求|z|；
（2）是否存在实数m，是$\frac{z}{m}$+$\frac{m}{z}$为实数，若存在，求出m值；若不存在，说明理由；
（3）若（1-2i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z．

Answer 1

分析 （1）由题意设z=x+yi（x，y∈R且y≠0），由复数的模和条件列出方程化简即可；
（2）先化简$\frac{z}{m}+\frac{m}{z}$整理出实部、虚部，根据实数的充要条件列出方程，结合题意和（1）的结论求出m的值；
（3）化简（1-2i）z整理出实部、虚部，根据条件列出关系式，代入|z|对应的方程求出x、y，即可求出复数z．

解答 解：（1）设z=x+yi（x，y∈R且y≠0），
由|2z+5|=|z+10|得：（2x+5）²+4y²=（x+10）²+y²
化简得：x²+y²=25，所以|z|=5．…（4分）
（2）∵$\frac{z}{m}+\frac{m}{z}=（\frac{x}{m}+\frac{mx}{{{m^2}+{n^2}}}）+（\frac{y}{m}-\frac{my}{{{x^2}+{y^2}}}）i∈R$，
∴$\frac{y}{m}-\frac{my}{{{x^2}+{y^2}}}=0$，
又y≠0且m² +n²=25，∴$\frac{1}{m}-\frac{m}{25}=0$，解得m=±5．…（8分）
（3）由（1-2i）z=（1-2i）（x+yi）=（x+2y）+（y-2x）i及已知得：x+2y=y-2x，
即y=-3x，代入x²+y²=25解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{10}}}{2}\\ y=-\frac{{3\sqrt{10}}}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{10}}}{2}\\ y=\frac{{3\sqrt{10}}}{2}\end{array}\right.$，
故$z=\frac{{\sqrt{10}}}{2}-\frac{{3\sqrt{10}}}{2}i$或$z=-\frac{{\sqrt{10}}}{2}+\frac{{3\sqrt{10}}}{2}i$．…（14分）

点评 本题考查复数代数形式的混合运算，复数的模，以及复数的基本概念，考查方程思想，化简、计算能力．