Question

如图所示，已知PA切圆O于A，割线PBC交圆O于B、C，PD⊥AB于D，PD与AO的延长线相交于点E，连接CE并延长交圆O于点F，连接AF．
（1）求证：B，C，E，D四点共圆；
（2）当AB=12，tan∠EAF=

2

3

时，求圆O的半径．

Answer 1

分析：（1）由切割线定理PA²=PB•PC，由已知易得Rt△PAD∽Rt△PEA，可得PA²=PD•PE，于是PB•PC=PD•PE，可得△PBD∽△PEC，因此∠BDP=∠C
即可得出B，C，E，D四点共圆              
（2）作OG⊥AB于G，由（1）知∠PBD=∠PEC，利用四点共圆的性质可得∠PBD=∠F，因此∠F=∠PEC，可得PE∥AF．进而得到PE∥OG∥AF，
于是∠AOG=∠EAF．在Rt△AOG中，tan∠AOG=tan∠EAF=

2

3

=

6

OG

，可得OG，再利用勾股定理可得OA=

OG2+AG2

．

解答：解：（1）由切割线定理PA²=PB•PC
由已知易得Rt△PAD∽Rt△PEA，∴PA²=PD•PE，
∴PA²=PB•PC=PA²=PD•PE，
又∠BPD为公共角，∴△PBD∽△PEC，
∴∠BDP=∠C
∴B，C，E，D四点共圆              
（2）作OG⊥AB于G，由（1）知∠PBD=∠PEC，
∵∠PBD=∠F，∴∠F=∠PEC，
∴PE∥AF．
∵AB=12，∴AG=6．
∵PD⊥AB，∴PD∥OG．
∴PE∥OG∥AF，
∴∠AOG=∠EAF．
在Rt△AOG中，tan∠AOG=tan∠EAF=

2

3

=

6

OG

，
∴OG=9∴R=AO=

AG2+OG2

=3

13

∴圆O的半径3

13

．

点评：熟练掌握四点共圆的判定与性质、切线的性质、切割线定理、相似三角形的判定与性质、垂径定理等是解题的关键．