Question

设有两个命题：p：不等式(

1

2

)x+4＞m＞2x-x²对一切实数x恒成立；q：f（x）=-（9-2m）^x是R上的减函数，如果p且q为假命题，则实数m的取值范围是

（-∞，1]∪[4，+∞）

．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，先求出p且q为真命题的取值范围，然后确定实数m的取值范围．

解答：解：∵(

1

2

)x+4＞4，2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
要使不等式(

1

2

)x+4＞m＞2x-x²对一切实数x恒成立，
则1＜m＜4，即p：-1＜m＜4．
若方f（x）=-（9-2m）^x是R上的减函数，
则9-2m＞1，即2m＜8，解得m＜4，即q：m＜4．
要使p且q为真，则

-1＜m＜4 m＜4

，解得-1＜m＜4．
所以当p且q为假命题时，解得m≥4或m≤-1．
即实数a的取值范围是（-∞，1]∪[4，+∞）．
故答案为：（-∞，1]∪[4，+∞）．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．