Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．

（1）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

（2）AE等于何值时，二面角D₁—EC—D的大小为．

Answer 1

解：解法（一）

（1）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=， 故

             

 

 

………（6分）

（2）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角．

设AE=x，则BE=2－x

      ………（12分）

       解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），

从而，                            ，

      

设平面ACD₁的法向量为，

       则

       也即，得，从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

                         ………………………………………（6分）

（2）设平面D₁EC的法向量，∴

       由  令b=1, ∴c=2,a=2－x，

       ∴

依题意

∴（不合，舍去）， ．

∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为．      ……………………（12分）