Question

已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E（1,）.过点P(1,1)分别作斜率为k₁,k₂的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k₁;
(3)若k₁+k₂=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.

Answer 1

(1) +=1   (2) -   (3)证明见解析  （0,-）

解:(1)依题设c=1,且右焦点F′(1,0).
所以2a=|EF|+|EF′|=+
=2,
b²=a²-c²=2,
故所求的椭圆的标准方程为+=1.
(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
则+=1,①
+=1.②
②-①,得+=0.
所以k₁==-=-=-.
(3)依题设,k₁≠k₂.
设M(x_M,y_M),
又直线AB的方程为y-1=k₁(x-1),
即y=k₁x+(1-k₁),
亦即y=k₁x+k₂,
代入椭圆方程并化简得(2+3)x²+6k₁k₂x+3-6=0.
于是,x_M=,y_M=,
同理,x_N=,y_N=.
当k₁k₂≠0时,
直线MN的斜率k==
=.
直线MN的方程为y-=(x-),
即y=x+(·+),
亦即y=x-.
此时直线过定点（0,-）.
当k₁k₂=0时,直线MN即为y轴,
此时亦过点（0,-）.
综上,直线MN恒过定点,且坐标为（0,-）.