Question

（2012•芜湖三模）若存在区间M=[a，b]（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=e^x     ②f（x）=x³ ③f（x）=cos

πx

2

     ④f（x）=lnx+1
其中存在稳定区间的函数有

②③

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

解答：解：：①对于函数f（x）=e^x 若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有e^a=a，e^b=b，
即方程e^x=x有两个解，即y=e^x和y=x的图象有两个交点，这与即y=e^x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”．
②对于f（x）=x³ 存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x³ ∈[0，1]．
③对于f（x）=sin

π

2

x，存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=sin

π

2

x∈[0，1]．
④对于 f（x）=lnx，若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有lna=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有两个解，
即y=lnx 和 y=x的图象有两个交点，这与y=lnx 和 y=x的图象没有公共点相矛盾，故④不存在“稳定区间”．
故答案为 ②③．

点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于中档题．