分析 (1)设抛物线的方程为x2=ay,代入A(2,1),可得a=4,即可求抛物线E的标准方程和准线方程;
(2)设出AB和AC所在的直线方程,分别把直线和抛物线联立后求得B,C两点的横坐标,再由两点式写出直线BC的方程,把B,C的坐标,k1+k2=k1k2,代入后整理,利用相交线系方程的知识可求出直线BC恒过的定点.
解答 (1)解:设抛物线的方程为x2=ay,则
代入A(2,1),可得a=4,
∴抛物线E的标准方程为x2=4y,准线方程为y=-1;
(2)证明:设B(x1,y1),C(x2,y2),则直线AB方程y=k1(x-2)+1,
AC方程y=k2(x-2)+1,
联立直线AB方程与抛物线方程,消去y,得x2-4k1x+8k1-4=0,
∴x1=4k1-2①
同理x2=4k2-2②
而BC直线方程为y-$\frac{1}{4}$x12=$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{4}$(x-x1),③
∵k1+k2=k1k2,
∴由①②③,整理得k1k2(x-2)-x-y-1=0.
由x-2=0且-x-y-1=0,得x=2,y=-3,故直线BC经过定点(2,-3).
点评 本题主要考查了抛物线的方程与几何性质,考查直线与抛物线的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系代入运算,这是处理这类问题的最为常用的方法.
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A. | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | 2 | D. | $\sqrt{2}$ |
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A. | -2 | B. | -$\frac{10}{3}$ | C. | 2 | D. | $\frac{10}{3}$ |
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