Question

如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为8的正三角形，SA=SC=2

7

，二面角S-AC-B的大小为60°．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角S-BC-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）要证AC⊥SB，只需证AC⊥面SBD，取AC的中点D，连接SD，BD，易证SD⊥AC，BD⊥AC，故问题得证；
（2）过O作OH⊥BC于H，连SH，则SH⊥BC，所以∠SHO为二面角S-BC-A的平面角，分别在三角形中求相应线段的长，从而可解

解答：解（1）取AC的中点D，连接SD，BD，∵SA=SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC
∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又SD∩BD=D∴AC⊥面SBD，又SB?面SBD，∴AC⊥SB…（6分）
（2）过O作OH⊥BC于H，连SH，则SH⊥BC∴∠SHO为二面角S-BC-A的平面角  …（8分）
∵正△ABC是边长为8，∴BD=4

3

，∵OD=

SD2-SO2

=

3

∴OB=3

3

，
在Rt△OHB中，OH=OB•sin300=

1

2

OB=

3 3

2

在Rt△SOH中，tan∠SHO=

SO

OH

=

3

3 3 2

=

2 3

3

即二面角S-BC-A的正切值为

2 3

3

…（12分）

点评：本题的考点是与二面角有关的立体几何综合问题，主要考查线线垂直，考查求解二面角的平面角，关键是线线、线面垂直之间的转化，二面角平面角的作与证．