Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），点M（﹣2， ） 在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知斜率为k的直线l过椭圆C的右焦点F2 ， 与椭圆C相交于A，B两点．
①若|AB|= ，求直线l的方程；
②设点P（ ，0），证明： 为定值，并求出该定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，

代入M的坐标，可得 + =1，

解得a= ，b= ，

即有椭圆方程为 =1；

（2）解：①设直线l的方程为y=k（x﹣2），

代入椭圆方程，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，

判别式△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）=24（1+k2）＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2= ，x1x2= ，

|AB|=

= = ，

解方程可得k=±1，

即有直线l的方程为y=±（x﹣2）；

② =（x1﹣ ，y1）（x2﹣ ，y2）=（x1﹣ ）（x2﹣ ）+y1y2

=（x1﹣ ）（x2﹣ ）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）

=（1+k2）x1x2﹣（2k2+ ）（x1+x2）+（4k2+ ）

=（1+k2） ﹣（2k2+ ） +（4k2+ ）= +

=﹣6+ =﹣ ．

故 为定值﹣ ．

【解析】（1）由题意可得c=2，再将M的坐标代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k，进而得到所求直线的方程；②运用向量的数量积的坐标表示和点满足直线的方程，化简整理，代入韦达定理，计算即可得到所求定值．