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【题目】已知函数f(x)= . (I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若不等式f(x)> 恒成立,求整数k的最大值;
(III)求证:(1+1×2)(1+2×3)…(1+n(n×1))>e2n﹣3(n∈N*).

【答案】解:(Ⅰ)f(x)的定义域是(0,1)∪(1,+∞), f′(x)=﹣
令φ(x)= +lnx,则φ′(x)=
x∈(0,1)时,φ′(x)<0,φ(x)递减,
∴φ(x)>φ(1)=1>0,
∴f′(x)<0,f(x)递减,
x∈(1,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)递增,
∴φ(x)>φ(1)=1>0,∴f′(x)<0,f(x)递减,
综上,f(x)在(0,1),(1,+∞)递减;
(Ⅱ)f(x)> (x>1)恒成立,
令h(x)= >k恒成立,
即h(x)的最小值大于k,
h′(x)= ,(x>1),
令g(x)=x﹣2﹣lnx(x>1),则g′(x)= >0,
故g(x)在(1,+∞)递增,
又g(3)=1﹣ln3<0,g(4)=2﹣2ln2>0,
g(x)=0存在唯一的实数根a,且满足a∈(3,4),a﹣2﹣lna=0,
故x>a时,g(x)>0,h′(x)>0,h(x)递增,
1<x<a时,g(x)<0,h′(x)<0,h(x)递减,
故h(x)min=h(a)= = =a∈(3,4),
故正整数k的最大值是3;
(Ⅲ)法一:由(Ⅱ)知, ,(x>1)恒成立,
即lnx>2﹣ ,故ln(x+1)>2﹣ >2﹣
令x=n(n+1),(n∈N*),得ln[1+n(n+1)]>2﹣
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
>(2﹣ )+(2﹣ )+…+[2﹣ ]
=2n﹣3[ + +…+ ]
=2n﹣3(1﹣
=2n﹣3+ >2n﹣3,
故(1+1×2)(1+2×3)…(1+n(n×1))>e2n﹣3(n∈N*).
法二:要证(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)…(1+n(n+1))>e2n﹣3
只需证ln[(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)…(1+n(n+1))]>2n﹣3,
即ln(1+12)+ln(1+23)+…+ln(1+n(n+1))>2n﹣3.
可以下面利用数学归纳法证明:
①当n=1时 左边=ln3>0,右边=﹣1,不等式显然成立;
②当n=2时 左边=ln3+ln7=ln21 右边=1 显然不等式成立;
③假设n=k( k≥2)时成立,即ln(1+12)+ln(1+23)+…+ln(1+k(k+1)>2k﹣3,
那么n=k+1时,
ln(1+12)+ln(1+23)+…+ln(1+(k+1)(k+2))
=ln(1+12)+ln(1+23)+…+ln(1+k(k+1))+ln(1+(k+1)(k+2))
>2k﹣3+ln(1+(k+1)(k+2))
∵当k≥2时 ln(1+(k+1)(k+2))>2.
∴ln(1+12)+ln(1+23)+…+ln(1+(k+1)(k+2))
>2k﹣3+2=2k﹣1=2(k+1)﹣3,
∴当n=k+1时不等式成立.
综上所述ln(1+12)+ln(1+23)+…+ln(1+n(n+1))>2n﹣3成立.
则(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)…(1+n(n+1))>e2n﹣3
【解析】(Ⅰ)对函数f(x)求导数,可判f′(x)<0,进而可得单调性;(Ⅱ)问题转化为h(x)k恒成立,通过构造函数可得h(x)min∈(3,4),进而可得k值;(Ⅲ)法一:可得ln(x+1)>2﹣ ,令x=n(n+1)(n∈N*),一系列式子相加,由裂项相消法可得ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]>2n﹣3,进而可得答案;法二:利用数学归纳法证明即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

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