【题目】(本小题13分)已知函数f(x)=-
(a>0,x>0).
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;
(2)若f(x)在[,2]上的值域是[
,2],求a的值.
【答案】(1)证明:见解析;(2) a=.
【解析】本事主要是考查了函数的单调性和函数值域的求解的综合运用。
(1)先分析函数的定义域内任意两个变量,代入函数解析式中作差,然后变形定号,下结论。
(2)∵f(x)在[,2]上的值域是[
,2],那么可知又f(x)在[
,2]上单调递增,可知最大值和最小值在端点值取得求解得到参数a的值。
解:(1)证明:设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0.
∵f(x2)-f(x1)=(-
)-(
-
)=
-
=>0,
∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.………………6分
(2)∵f(x)在[,2]上的值域是[
,2],
又f(x)在[,2]上单调递增,∴f(
)=
,f(2)=2,
易得a=. ………………13分
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【题目】已知向量,
,设函数
.
(1)求函数的最小正周期;
(2)已知分别为三角形
的内角对应的三边长,
为锐角,
,
,且
恰是函数
在
上的最大值,求
和三角形
的面积.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
:
,以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
:
.
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线
,求
的参数方程;
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证:∠ABC=2∠CAF;
(2)若,CE∶EB=1∶4,求CE的长.
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【题目】设集合A={x|(x-3)(x+a)<0,a∈R},集合B={x∈Z|x2-3x-4<0}.
(1)若A∩B的子集个数为4,求a的范围;
(2)若a∈Z,当A∩B≠时,求a的最小值,并求当a取最小值时A∪B.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,以原点
为圆心,椭圆
的长半轴长为半径的圆与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知点,
为动直线
与椭圆
的两个交点,问:在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,试求出点
的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某保险公司有一款保险产品的历史收益率(收益率利润
保费收入)的频率分布直方图如图所示:
(1)试估计这款保险产品的收益率的平均值;
(2)设每份保单的保费在20元的基础上每增加元,对应的销量为
(万份).从历史销售记录中抽样得到如下5组
与
的对应数据:
| 25 | 30 | 38 | 45 | 52 |
销量为 | 7.5 | 7.1 | 6.0 | 5.6 | 4.8 |
由上表,知与
有较强的线性相关关系,且据此计算出的回归方程为
.
(ⅰ)求参数的值;
(ⅱ)若把回归方程当作
与
的线性关系,用(1)中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率,试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润,并求出最大利润.注:保险产品的保费收入
每份保单的保费
销量.
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【题目】定义在上的函数
满足:
对任意
、
恒成立,当
时,
.
(1)求证在
上是单调递增函数;
(2)已知,解关于
的不等式
;
(3)若,且不等式
对任意
恒成立.求实数
的取值范围.
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