Question

18．已知：$\overrightarrow{a}$=（2sinx，2cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，且x∈（$\frac{π}{2}$，π），求x的值；
（2）求函数f（x）的周期；
（3）若对任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]不等式m-2≤f（x）≤m+$\sqrt{2}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用共线的向量的性质得出$\frac{2sinx}{cosx}$=$\frac{2cosx}{-cosx}$即tanx=-1，结合x∈（$\frac{π}{2}$，π），求解x的值．
（2）化简得出f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，根据三角函数的性质得出周期，T═$\frac{2π}{|ω|}$
（3）根据x的范围得出$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1，确定-2$≤f（x）≤\sqrt{2}-1$，利用最大值，最小值问题求解得出只需$\left\{\begin{array}{l}{m-2≤-2}\\{m+\sqrt{2}≥\sqrt{2}-1}\end{array}\right.$  成立即可．

解答 解：（1）∵x∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cosx≠0
又∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线∴$\frac{2sinx}{cosx}$=$\frac{2cosx}{-cosx}$即tanx=-1  
∵x∈（$\frac{π}{2}$，π），∴x=$π-\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$；        
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x-1         
=$\sqrt{2}$（sin2x$•\frac{\sqrt{2}}{2}$-cos2x$•\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1     
故函数f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π 
（3）∵0$≤x≤\frac{π}{2}$   
∴$-\frac{π}{4}$$≤2x-\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$  
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1 
∴-2$≤\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$-1$≤\sqrt{2}-1$，
即-2$≤f（x）≤\sqrt{2}-1$     
要使不等式m-2≤f（x）$≤m+\sqrt{2}$，
对任意x$∈[0，\frac{π}{2}$]上恒成立，
必须且只需$\left\{\begin{array}{l}{m-2≤-2}\\{m+\sqrt{2}≥\sqrt{2}-1}\end{array}\right.$，
即-1≤m≤0．

点评 本题综合考察了三角函数的性质，考察了平面向量的运用，不等式恒成立问题，属于中档题．