Question

平面直角坐标系xOy中，已知A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n）是直线l：y=kx+b上的n个点
（n∈N^*，k、b均为非零常数）．
（1）若数列{x_n}成等差数列，求证：数列{y_n}也成等差数列；
（2）若点P是直线l上一点，且

OP

=a1

OA1

+a2

OA2

，求a₁+a₂的值；
（3）若点P满足

OP

=a1

OA1

+a2

OA2

+…+an

OAn

，我们称

OP

是向量

OA1

，

OA2

，…，

OAn

的线性组合，{a_n}是该线性组合的系数数列．当

OP

是向量

OA1

，

OA2

，…，

OAn

的线性组合时，请参考以下线索：
①系数数列{a_n}需满足怎样的条件，点P会落在直线l上？
②若点P落在直线l上，系数数列{a_n}会满足怎样的结论？
③能否根据你给出的系数数列{a_n}满足的条件，确定在直线l上的点P的个数或坐标？
试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程．[本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分]．

Answer 1

分析：（1）若设等差数列{x_n}的公差为d，易得y_n+1-y_n为常数，即证数列{y_n}是等差数列；
（2）由点P、A₁和A₂都是直线l上的点，知

A1P

=λ

PA2

（其中λ≠-1）；由向量的线性运算，得

OP

=

OA1

+

A1P

=

OA1

+λ

PA2

=

OA1

+λ(

OA2

-

OP

)；整理可得

OP

=

1

1+λ

OA1

+

λ

1+λ

OA2

；即得a₁+a₂的值；
（3）设存在点P（x，y）满足

OP

=a₁

OA1

+a₂

OA2

+…+a_n

OAn

，则x=a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n，当i+j=n+1时，有a_i=a_j，所以x=a_nx₁+a_n-1x₂+…+a₂x_n-1+a₁x_n，则2x=a₁（x₁+x_n）+a₂（x₂+x_n-1）+…+a_n（x_n+x₁），由数列{x_n}是等差数列，则x₁+x_n=x₂+x_n-1=…=x_n+x₁，可得2x，从而得x，同理得y；即得点P在直线l上．

解答：解：（1）证明：设等差数列{x_n}的公差为d，因为y_n+1-y_n=（kx_n+1+b）-（kx_n+b）=k（x_n+1-x_n）=kd是常数，
∴数列{y_n}等差数列．
（2）因为点P、A₁和A₂都是直线l上一点，故有

A1P

=λ

PA2

（其中λ≠-1）；
于是，

OP

=

OA1

+

A1P

=

OA1

+λ

PA2

=

OA1

+λ(

OA2

-

OP

)；
∴(1+λ)

OP

=

OA1

+λ

OA2

，即

OP

=

1

1+λ

OA1

+

λ

1+λ

OA2

；
令a₁=

1

1+λ

，a₂=

λ

1+λ

，则有a₁+a₂=1．
（3）假设存在点P（x，y）满足

OP

=a₁

OA1

+a₂

OA2

+…+a_n

OAn

，
则有x=a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n，且当i+j=n+1时，恒有a_i=a_j，
所以有x=a_nx₁+a_n-1x₂+…+a₂x_n-1+a₁x_n，
所以2x=a₁（x₁+x_n）+a₂（x₂+x_n-1）+…+a_n（x_n+x₁），
又因为数列{x_n}成等差数列，于是x₁+x_n=x₂+x_n-1=…=x_n+x₁，
所以，2x=（a₁+a₂+…+a_n）（x₁+x_n）=x₁+x_n；
故x=

x1+xn

2

，同理y=

y1+yn

2

，且点P(

x1+xn

2

，

y1+yn

2

)在直线l上（是A₁、A_n的中点），
即存在点P(

x1+xn

2

，

y1+yn

2

)满足要求．

点评：本题考查了等差数列以及平面向量知识的综合应用，属于较难的题目；解题时须要认真审题，细心解答，以免出错．