Question

已知线段AB的端点B的坐标是（-1，0），端点A在圆（x-7）²+y²=16上运动，
（1）求线段AB中点M的轨迹方程；
（2）点C（2，a），若过点C且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程．

Answer 1

分析：（1）设出A，M坐标，利用M为线段AB中点，确定A，M坐标之间的关系，根据点A在圆（x-7）²+y²=16上运动，可得线段AB中点M的轨迹方程；
（2）设出切线方程，利用直线与圆相切，可求a的值及切线方程．

解答：解：（1）设A（m，n），M（x，y），则
∵M为线段AB中点，
∴

x= m-1 2 y= n 2

，∴

m=2x+1 n=2y

，
又点A在圆（x-7）²+y²=16上运动，
∴（2x+1-7）²+（2y）²=16，
即（x-3）²+y²=4．
∴点M的轨迹方程为：（x-3）²+y²=4；                         …（6分）
（2）设切线方程为：y=

a

2

x和x+y=2+a…（9分）
则

|3a|

a2+4

=2和

|1-a|

2

=2，
解得：a=±

4 5

5

或a=1±2

2

…（11分）
∴切线方程为y=±

2 5

5

x和x+y=3±2

2

．…（13分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查代入法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．