Question

已知x，y∈R⁺，且x+y＞2，求证：

1+x

y

与

1+y

x

中至少有一个小于2．

Answer 1

分析：本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．

解答：解：用反证法．假设

1+x

y

与

1+y

2

都大于或等于2，
即

1+x y ≥2 1+y x ≥2

，（4分）
∵x，y∈R⁺，故可化为

1+x≥2y 1+y≥2x

，
两式相加，得x+y≤2，（10分）
与已知x+y＞2矛盾．
所以假设不成立，即原命题成立．（12分）

点评：本考点是反证法证明命题，在作证明题时，对于一些条件相对较少或者证明时需要分类讨论的题型，最好试试用反证法能否证明问题．对于有些题如本题，用反证法证明可以大大降低题目的解决难度．