Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在直线x+y-2=0上，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求出其通项；
（2）设f（n）=log 

1

2

a_n，记b_n=a_n+1•f（n+1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于点（a_n，S_n）在直线x+y-2=0上，n∈N^*．可得a_n+S_n-2=0，
利用“当n=1时，2a₁-2=0，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”，再利用等比数列的定义及其通项公式即可证明．
（2）f（n）=log 

1

2

a_n=n-1．可得b_n=a_n+1•f（n+1）=(

1

2

)n•n=

n

2n

，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 证明：（1）∵点（a_n，S_n）在直线x+y-2=0上，n∈N^*．∴a_n+S_n-2=0，
当n=1时，2a₁-2=0，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n+S_n-2=0，a_n-1+S_n-1-2=0，
∴a_n-a_n-1+a_n=0，∴

an

an-1

=

1

2

．
∴数列{a_n}为等比数列，首项为1，公比为

1

2

．
∴a_n=1×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-1．
（2）解：f（n）=log 

1

2

a_n=n-1．
∴b_n=a_n+1•f（n+1）=(

1

2

)n•n=

n

2n

，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
两式相减可得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

．

点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．