Question

5．数列{a_n}的前n项和S_n满足3S_n=a_n+4（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若等差数列{b_n}的公差为3，且b₂a₅=-1，求数列{b_n}的前n项和T_n及T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；
（2）由已知，得b₂=-$\frac{1}{{a}_{5}}$=-8，又等差数列{b_n}的公差d=3，可得b_n，令b_n≤0，解出即可得出，再利用等差数列的前n项和公式可得T_n．

解答 解：（1）由3S_n=a_n+4，当n≥2时，3S_n-1=a_n-1+4，
两式相减得：3（S_n-S_n-1）=（a_n+4）-（a_n-1+4）=a_n-a_n-1，
整理得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=-$\frac{1}{2}$（n≥2）．
又3a₁=a₁+4，得a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，以-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
故有a_n=2×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
（2）由已知，得b₂=-$\frac{1}{{a}_{5}}$=-8，又等差数列{b_n}的公差d=3，
故b_n=b₂+（n-2）d=3n-14，b₁=-8-3=-11．
因此当n≤4时，b_n＜0，当n≥5时，b_n＞0，
∴n=4时，{b_n}的前n项和T_n最小，
最小值为T₄=$\frac{4（{b}_{1}+{b}_{4}）}{2}$=-26．
T_n=$\frac{n（-11+3n-14）}{2}$=$\frac{n（3n-25）}{2}$=$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{25}{2}$n．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．