【题目】以原点为圆心,半径为的圆
与直线
相切.
(1)直线过点
且
截圆
所得弦长为
求直线
的方程;
(2)设圆与
轴的正半轴的交点为
,过点
作两条斜率分别为
的直线交圆
于
两点,且
,证明:直线
恒过一个定点,并求出该定点坐标.
【答案】(1)或
;(2)
.
【解析】
分析:(1)先由直线和圆相切得到圆的方程,再由垂径定理列式,分直线斜率存在与不存在两种情况得到结果;(3)联立直线和圆,由韦达定理得到交点的坐标,由这两个点写出直线方程,进而得到直线过定点.
详解:
(1)∵圆与直线
相切,
∴圆心到直线的距离为
,
∴圆的方程为:
若直线的斜率不存在,直线
为
,
此时直线截圆所得弦长为
,符合题意;
若直线的斜率存在,设直线
为
,
由题意知,圆心到直线的距离为
,解得:
,
此时直线为
,
则所求的直线为
或
(2)由题意知,
,设直线
,
与圆方程联立得:
,
消去得:
,
∴∴
,
用换掉
得到B点坐标
∴,
∴直线AB的方程为
整理得:
则直线AB恒过定点为.
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【题目】如图,已知两条公路的交汇点
处有一学校,现拟在两条公路之间的区域内建一工厂
,在两公路旁
(异于点
)处设两个销售点,且满足
,
(千米),
(千米),设
.
(1)试用表示
,并写出
的范围;
(2)当为多大时,工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最远).
(注:)
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【题目】在某次测量中得到的A样本数据如下:52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A. 众数 B. 平均数
C. 中位数 D. 标准差
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【题目】中国共产党第十九次全国代表大会于2017年10月24日在北京召开,会议提出“决胜全面建成小康社会”.某市积极响应开展“脱贫攻坚”,为2020年“全面建成小康社会”贡献力量.为了解该市农村“脱贫攻坚“情况,从某县调查得到农村居民2011年至2017年家庭人均纯收入(单位:百元)的数据如下表:
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年人均纯收入 | 41 | 45 | 48 | 56 | 60 | 64 | 71 |
注:小康的标准是农村居民家庭年人均纯收入达到8000元.
(1)求关于
的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,预测2020年该县农村居民家庭年人均纯收入能否达到“全面建成小康社会”的标准?
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为
.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
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【题目】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图.
记表示
台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,
表示
台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),
表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若,求
与
的函数解析式;
(2)若要求 “需更换的易损零件数不大于”的频率不小于
,求
的最小值;
(3)假设这台机器在购机的同时每台都购买
个易损零件,或每台都购买
个易损零件,分别计算这
台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买
台机器的同时应购买
个还是
个易损零件?
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【题目】经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数(0<
≤10)与销售价格
(单位:万元/辆)进行整理,得到如下的对应数据:
使用年数 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
售价 | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 4.5 |
(Ⅰ)试求关于
的回归直线方程;
(附:回归方程中,
(Ⅱ)已知每辆该型号汽车的收购价格为万元,根据(Ⅰ)中所求的回归方程,
预测为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润
最大.
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