Question

如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，△ABC外的地方种草，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，将比值

S1

S2

称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S₁和S₂；
（2）若a为定值，当θ为何值时，“规划合理度”最小？并求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S₁；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值

S1

S2

称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S₁与S₂的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，S1=

1

2

AB•AC=

1

2

a2sinθcosθ（3分）
设正方形的边长为x则BP=

x

sinθ

，AP=xcosθ，
由BP+AP=AB，得

x

sinθ

+xcosθ=acosθ，故x=

asinθcosθ

1+sinθcosθ

所以S2=x2=(

asinθcosθ

1+sinθcosθ

)2（6分）
（2）

S1

S2

=

1

2

•

(1+sinθcosθ)2

sinθcosθ

=

(1+ 1 2 sin2θ)2

sin2θ

=

1

sin2θ

+

1

4

sin2θ+1，（8分）
令t=sin2θ，因为0＜θ＜

π

2

，
所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]（10分）
所以

S1

S2

=

1

t

+

1

4

t+1=g(t)，g′(t)=-

1

t2

+

1

4

＜0，
所以函数g（t）在（0，1]上递减，（11分）
因此当t=1时g（t）有最小值g(t)min=g(1)=

9

4

，
此时sin2θ=1，θ=

π

4

所以当θ=

π

4

时，“规划合理度”最小，最小值为

9

4

．（12分）

点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力．