Question

15．若关于x的方程x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a（x+$\frac{1}{x}$）+b=0（其中a，b∈R）有实数根，则a²+b²的最小值为4．

Answer 1

分析 由已知得关于x的方程（x+$\frac{1}{x}$）²+a（x+$\frac{1}{x}$）+b-2=0（其中a，b∈R）有实数根，令t=x+$\frac{1}{x}$，得-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，由此借助线性规划能求出a²+b²的最小值．

解答 解：∵关于x的方程x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a（x+$\frac{1}{x}$）+b=0（其中a，b∈R）有实数根，
∴关于x的方程（x+$\frac{1}{x}$）²+a（x+$\frac{1}{x}$）+b-2=0（其中a，b∈R）有实数根，
令t=x+$\frac{1}{x}$，则t≤-2或t≥2，且f（t）=t²+at+b-2，
要使f（x）=0有实根，即使f（t）=0在t≤-2或t≥2上有解．
即t²+at+b-2=0在t≤-2或t≥2上有解．
△=a²-4（b-2）≥0，且f（-2）≤0或f（2）≤0
解得-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，
画出线性规划图形（右图阴影区域）：
由题意根号下$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$表示原点到（a，b）距离
根据图形知，原点（0，0）到（a，b）距离最短距离为原点（0，0）到（0，-2）的距离，
其最小距离是d_min=$\sqrt{0+4}$=2，
∴a²+b²的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查两实数平方和的最小值的求法，是中档题，解题要认真审题，注意换元法和线性规划的合理运用．