Question

7．设实数a∈R，函数$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是R上的奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）当x∈（-1，1）时，求满足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可，
（Ⅱ）根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因为函数$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是R上的奇函数，所以f（0）=0．（2分）
即$a-\frac{2}{{{2^0}+1}}=0$，解得a=1．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
因为f（x）是R上的奇函数，由f（1-m）+f（1-m²）＜0，
得f（1-m）＜-f（1-m²），即f（1-m）＜f（m²-1）．（5分）
下面证明f（x）在R是增函数．
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{1-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}}）-（{1-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}}）=\frac{{2（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$（6分）
因为x₁＜x₂，所以${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，而${2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$，
所以$\frac{{2（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}＜0$，
即f（x₁）＜f（x₂），所以$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是R上的增函数．（8分）
当x∈（-1，1）时，由f（1-m）＜f（m²-1）得$\left\{\begin{array}{l}-1＜1-m＜1\\-1＜{m^2}-1＜1\\ 1-m＜{m^2}-1\end{array}\right.$，（10分）
解得$1＜m＜\sqrt{2}$．
所以，当x∈（-1，1）时，满足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值范围是$（1，\sqrt{2}）$．（12分）

点评 本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式以及利用函数单调性和奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．