Question

已知点A（-1，0）、B（1，0），△ABC的周长为2+2

2

．记动点C的轨迹为曲线W．
（1）直接写出W的方程（不写过程）；
（2）经过点（0，

2

）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，是否存在常数k，使得向量

OP

+

QO

与向量(-

2

，1)共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
（3）设W的左右焦点分别为F₁、F₂，点R在直线l：x-

3

y+8=0上．当∠F₁RF₂取最大值时，求

|RF1|

|RF2|

的值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义能够直接写出W的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+

2

，代入椭圆方程，得（

1

2

+k²）x²+2

2

kx+1=0．因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以△=8k²-4（

1

2

+k²）=4k²-2＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

QO

=（x₁+x₂，y₁+y₂），x₁+x₂，=-

4 2 k

1+2k2

．y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

．所以

OP

+

QO

与向量（-2，1）共线等价于x₁+x₂=-

2

（y₁+y₂），由此能够推导出不存在常数k，使得向量

OP

+

QO

与

MN

共线．
（3）当∠F₁RF₂取最大值时，过R、F₁、F₂的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切．由此能求出当∠F₁RF₂取最大值时，求

|RF1|

|RF2|

的值．

解答：解：（1）W：

x2

2

+y²=1（y≠0）．
（2）设直线l的方程为y=kx+

2

，代入椭圆方程，得

x2

2

+（kx+

2

）²=1．
整理，得（

1

2

+k²）x²+2

2

kx+1=0．①
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
△=8k²-4（

1

2

+k²）=4k²-2＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

QO

=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由①得x₁+x₂，=-

4 2 k

1+2k2

．②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

             ③
所以

OP

+

QO

与向量（-2，1）共线等价于x₁+x₂=-

2

（y₁+y₂），
将②③代入上式，解得k=

2

2

．
所以不存在常数k，使得向量

OP

+

QO

与

MN

共线
（3）当∠F₁RF₂取最大值时，过R、F₁、F₂的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切．
直线l与x轴于S（-8，0），∵△F₁SR∽△RSF₂∴

|RF1|

|RF2|

=

|SF1|

|SR|

=

|SR|

|SF2|

=

|SF1| |SR| |SR| |SF2|

=

|SF1| |SF2|

=

7

3

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．