Question

15．边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的中心为O，过点O作平面ABCD的垂线，在其上取点V，使OV=1，连接VA，VB，VC，VD．
（1）在直线VC上找一点E，使VC⊥BE；
（2）在（1）的条件下，求BE与平面VDB所成的角的余弦值；
（3）在（1）的条件下，求E到平面VBD的距离．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OV为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出E是VC中点．
（2）求$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0）是平面VBD的法向量，求出$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}，-1，\frac{1}{2}$），由此利用向量法能求出BE与平面VDB所成的角的余弦值．
（3）由$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0）是平面VBD的法向量，$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}，-1，\frac{1}{2}$），利用向量法能求出E到平面VBD的距离．

解答 解：（1）∵边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的中心为O，过点O作平面ABCD的垂线，在其上取点V，使OV=1，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OV为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，1，0），V（0，0，1），C（-1，0，0），
设E（a，0，c），$\overrightarrow{VE}=λ\overrightarrow{VC}$，（0≤λ≤1），
$\overrightarrow{VE}$=（a，0，c-1），$λ\overrightarrow{VC}$=（-λ，0，-λ），$\overrightarrow{VC}$=（-1，0，-1），∴a=-λ，c=1-λ，
∴E（-λ，0，1+λ），$\overrightarrow{BE}$=（-λ，-1，1-λ），
∵VC⊥BE，∴$\overrightarrow{VC}•\overrightarrow{BE}$=λ-1+λ=0，
解得$λ=\frac{1}{2}$，∴E是VC中点．
（2）∵正方形ABCD的中心为O，∴OA⊥BD，
∵过点O作平面ABCD的垂线，在其上取点V，使OV=1，∴AO⊥PO，
∴AO⊥平面VBD，∴$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0）是平面VBD的法向量，
∵E是VC中点，∴E（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），∴$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}，-1，\frac{1}{2}$），
设BE与平面VDB所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{OA}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{OA}|}$|=|$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴BE与平面VDB所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
（3）∵$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0）是平面VBD的法向量，
$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}，-1，\frac{1}{2}$），
∴E到平面VBD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{1}{2}$．
∴E到平面VBD的距离为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线线垂直的点的位置的确定，考查线面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．