Question

（2010•崇明县二模）在四棱锥S-OABC中，SO⊥底面OABC，底面OABC为正方形．SO=OA=2，
点P满足

AP

=λ

AS

，D为BC的中点．
（1）当λ=

1

2

时，求二面角P-OB-A的大小；
（2）是否存在λ∈[0，1]，使

OP

⊥

SD

，若存在 求出λ的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：分别以OA、OC、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系
（1）求出各对应点的坐标以及平面POB的法向量为

n

=(x，y，z)的坐标，即可求出二面角P-OB-A的大小；
（2）假设存在，由

AP

=λ

AS

得到关于λ的方程，再结合

OP

⊥

SD

，即可求出结论．

解答：解：如图分别以OA、OC、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系
（1）可知

OS

=(0，0，2)，

OP

=(1，0，1)，

OB

=(2，2，0)
设平面POB的法向量为

n

=(x，y，z)由

n • OP =0 n • OB =0

得

x+y=0 x+z=0

可得

n

=(-1，1，1)
记二面角P-OB-A的平面角为θ，cosθ=

3

3

二面角P-OB-A的平面角为arccos

3

3

（2）设点P为（x，0，z），

AS

=(-2，0，2)，

AP

=(x-2，0，z)
由

AP

=λ

AS

得

x-2=-2λ z=2λ

，

x=2-2λ z=2λ

，
∵

SD

=(1，2，-2)，

OP

=(2-2λ，0，2λ)，

SD

•

OP

=0得λ=

1

3

点评：本题主要考查空间向量在平面间的夹角的应用．向量法是解答和证明立体几何平行、垂直关系及夹角常用的方法，建立适当的坐标系，求出相应直线的方向向量及平面的法向量是解答的关键．