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(2010•崇明县二模)在四棱锥S-OABC中,SO⊥底面OABC,底面OABC为正方形.SO=OA=2,
点P满足
AP
AS
,D为BC的中点.
(1)当λ=
1
2
时,求二面角P-OB-A的大小;
(2)是否存在λ∈[0,1],使
OP
SD
,若存在 求出λ的值;若不存在请说明理由.
分析:分别以OA、OC、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系
(1)求出各对应点的坐标以及平面POB的法向量为
n
=(x,y,z)
的坐标,即可求出二面角P-OB-A的大小;
(2)假设存在,由
AP
AS
得到关于λ的方程,再结合
OP
SD
,即可求出结论.
解答:解:如图分别以OA、OC、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系
(1)可知
OS
=(0,0,2),
OP
=(1,0,1),
OB
=(2,2,0)

设平面POB的法向量为
n
=(x,y,z)
n
OP
=0
n
OB
=0
x+y=0
x+z=0
可得
n
=(-1,1,1)

记二面角P-OB-A的平面角为θ,cosθ=
3
3

二面角P-OB-A的平面角为arccos
3
3

(2)设点P为(x,0,z),
AS
=(-2,0,2),
AP
=(x-2,0,z)

AP
AS
x-2=-2λ
z=2λ
x=2-2λ
z=2λ

SD
=(1,2,-2),
OP
=(2-2λ,0,2λ)
SD
OP
=0
λ=
1
3
点评:本题主要考查空间向量在平面间的夹角的应用.向量法是解答和证明立体几何平行、垂直关系及夹角常用的方法,建立适当的坐标系,求出相应直线的方向向量及平面的法向量是解答的关键.
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