Question

如下图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B₁、B₂的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离的，求这个椭圆的方程.

Answer 1

解析：如题图，由椭圆中心在原点，焦点在x轴上知，椭圆方程的形式是

(a>b>0)，再根据题目条件列出关于a、b的方程组，求出a、b的值.

解：设椭圆方程为(a>b>0).

由椭圆的对称性知，|B₁F|=|B₂F|，又B₁F⊥B₂F，

因此△B₁FB₂为等腰直角三角形.

于是|OB₂|=|OF|，即b=c.

又|FA|=,即a-c=,且a²=b²+c².

将以上三式联立，得方程组解得

所求椭圆方程是.

点评：要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a、b、c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长、顶点到准线距离等等，这将有利于提高解题能力.